Bogenlänge im Einheitskreis

Radius r=1

Bogenlänge b₁=pi*r*ß/180°

Bogenlänge b₂=Integral (1+y'(x)^2)^0,5 dx mit y=(r^2-x^2)^0,5, dies ist die Kreisgleichung

b₂=Integral (1+x^2/(r^2-x^2))dx in den Grenzen von a zu b

b₂=Integral (1/(1-x^2))dx in den Grenzen von a zu b

b₂=arcsin(x) in den Grenzen von a zu b=arcsin(b)-arcsin(a)

b=1 Viertelkreis, daraus folgt: b₂=arcsin(1)-arcsin(a), daraus folgt: b₂=pi/2-arcsin(a) für a=x

b₁=b₂, daraus folgt: pi*r*ß/180°=pi/2-arcsin(x)

sin(pi/2-ß*pi/180°)=x

Phasenverschiebung pi/2, daraus folgt: cos(ß*pi/180°)=x

x=cos(b₁), oder arccos(x)=b₁

es gilt: x=cos(ß)*r=cos(ß), daraus folgt:

arccos cos(ß)=b₁, daraus folgt, daß ß=b₁

dies entspricht einer sogenannten "Sägezahnlinie" in den jeweiligen Intervallen

Link zur Mathelounge:

weiterführende Berechnungen, Versuch arcsinx durch Polynom darzustellen, trigonometrischer Ansatz

Aufgabe:

Darstellung des arcsinx durch ein allgemeingültiges Polynom unter Zuhilfenahme eines trigonometrischen Ansatzes

Problem/Ansatz:

1=u'a-a'u aus (arcsinx)'=1/(1-x^2)^0.5, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25, Quotientenregel Differentialrechnung

(arcsinx)'=(u'a-a'u)/a^2)

1=(sinx)^2+(cosx)^2, daraus folgt: a=(1-x^2)^0.25=cosx und u=sinx, gesucht ist das Polynom für u

1=u'a-a'u, daraus folgt: 1+2ua'=(u*a)'=u'a+a'u, Produktregel Differentiation

1+2ua'=1-2*(sinx)^2=cos(2x)=(sinx*cosx)'=2*(cosx)^2-1

            1-2*u^2=2a^2-1 daraus folgt: u=(1-a^2)^0.5=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5

u/a=arcsinx, folgender Ansatz wurde von mir gefunden, den ich nicht näher herleiten kann:

f₁=k₁(1-k₂*(1-k₃*x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a=arcsinx, mit k₁=f(k₂ ), daraus folgt:

f₂=g₁*arcsin(x*g₂)=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a

es soll gelten: f₁=f₂=g₁*arcsin(x*g₂) und f'₂=g₁*g₂/(1-(g₂*x)^2)^0.5=x/(2*(1-x^2)^1.25*(1-(1-x^2)^0.5)^0.5)=f'₁

Ermittlung der Konstanten g_i bei x=0.5, willkürlich gewählt:

g₁=0.5228504671290 und g₂=1.36658

Damit lautet die Funktionsgleichung für f₂=f₁=0.5228504671290*arcsin(x*1.36658)=(1-(1-x^2)^0.5)^0.5/(1-x^2)^0.25=u/a!!!!

Der arcsin(x)ergibt sich damit zu:

arcsin(x)=1/g₁*(1-(1-(x*1/g₂)^2)^0.5)^0.5/(1-(x*1/g₂)^2)^0.25!!!!

Damit wurde nachgewiesen, daß die trigonometrische Funktion arcsinx, genau, durch ein Polynom dargestellt werden kann.

Die geplotteten Bilder sind nicht besonders aussagekräftig/genau in Ihrer Darstellung. Besuchen Sie doch einfach den weiter oben angezeigten Link zur Mathelounge, um sich einen besseren Eindruck, von dieser Problematik zu machen!