Nullstellen Polynom 3. Grades - Koeffizientenvergleich

(x-2)*(x+2)*(x+3)=0=(x-a)*(x-b)*(x-c)=x^3+3x^2-4x-12  für x=a,b,c

Koeffizientenvergleich, es wird eine Nullstelle gesucht, x=a

-ax^2-bx^2-cx^2+abx+bcx+acx-abc+x^3=0

x^3=1xxx    -bx^2-cx^2-ax^2=3xx      abx+bcx+acx=-4x    -abc=-12

(x^2-xb-xc+cb)(x-a)=0, x^2-xc-xb+cb=0 bei a=x

-b-c-a=3    x^2-xb-xc+cb=y    ab+bc+ac=-4 daraus folgt für x=a  a^2-ab-ac+cb=y

die beiden letzten Gleichungen addieren

a^2+2bc=y-4

a^3+2abc=ay-4a

Koeffizientenvergleich Ergebnisse einsetzen für x=a

a^3+24=a*(a^2-ab-ac+cb)-4a

24=-a^2*b-a^2*c+abc-4a

-12=a^2*b+a^2*c+4a

-12=a*(ab+ac+4)

ab+bc+ac=-4 ab+ac=-4-bc

12=abc

a*(b+c)=-4-bc
-4=-4
a*(-a-3)=-4-bc
a^3+3a^2-4a-12=0