Es soll ein zweidimensionaler Vektor durch eine eindimensionale Gleichung dargestellt werden...., durch ein einfaches Beispiel, die dritte Dimension entfällt, v_z!

v Vektor =1/3x*(4-x)^(1/4)/(4-x)^(1/4)*(x-1)^(1/4)/(x-1)^(1/4)+5/3

Der Vektor ist durch seinen Betrag und seine Richtung festgelegt, diese Forderungen erfüllt diese Gleichung!

v Vektor =1/3*x

a Vektor =2x

b Vektor =3/4*x

b Vektor= a Vektor + v Vektor =1/((delta y_{a Vektor}*2)*(delta y_{v Vektor}*1/3))*x

..... in den jeweiligen Gültigkeitsgrenzen (Definitionsbereichen)....

Die Winkel zwischen den Vektoren können relativ einfach über die jeweiligen Anstiege (tan(ß)) der Einzelvektoren berechnet werden (das sog. Skalarprodukt)!

Die Beträge der Vektoren wiederum können mit den jeweiligen Anstiegswinkeln der Vektoren und Ihrem Definitionsbereich (cos(ß)) berechnet werden!

Problem/Ansatz:

folgende Vorüberlegungen wurden genutzt: Siehe weiter oben!

f_1Vektor=f_2Vektor+f_3Vektor

die quadratischen Vektoren haben die gleiche Richtung, jedoch unterschiedliche Beträge:

f_2Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3)   tan(1,3)=3,60210

f_1Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)

Schnittpunkt f_2Vektor=x   y=x, daraus folgt: x_s=1/3,60210=0,2776158=y_s

damit ergibt sich der f_2Vektor=x^2*(x_s-x)^(1/2)/(x_s-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3)

Integral k₂ dx von 0 bis 0,2776158 =0,894427     k₂=Krümmung von f_2Vektor

Integral k₁ dx von 0 bis 1 =0,894427                    k₁=Krümmung von f_1Vektor

siehe weiter unten: Integral k₃ dx von 0,2776158 bis 1 =0,894427    k₃=Krümmung von f_3Vektor

f_1Vektor=x^2/(delta y₂*m₂*delta y₃*m₃), siehe Gleichung Vorüberlegungen

m₃=x^2/(f_1Vektor*0,2776158*tan(1,3)*(1-0,2776158))=1,3843051, daraus folgt:

f_3Vektor=(x-0,2776158)^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*(x-0,2776158)^(1/2)/(x-0,2776158)^(1/2)*1,3843051+0,2776158

Kontrolle der Beträge/Bogenlängen der Vektoren:

s₁=Integral (1+y'^2)^(1/2) dx   s₁=1,478942

s₂=0,41057787

s₃=1,068365

s₁=s₂+s₃ ,richtig, die Beträge der quadratischen Vektoren stimmen überein...., die Richtung war ja gleich, von mir festgelegt

Die Richtung der Vektoren kann durch eine Drehung am Schnittpunkt von y=x, dem f_2Vektor und dem f_3Vektor vorgenommen werden.

Damit wurde bewiesen daß f_1Vektor=f_2Vektor+f_3Vektor ist!

Ich glaube, daß die Vektoren immer die gleichen, gemeinsamen Eigenschaften, hier quadratisch, haben müssen!

Aufgabe:

Berechnung des resultierenden quadratischen Vektors aus 2 ungleichen (Richtungen und Beträge) Vektoren

Problem/Ansatz:

Berechnung eines quadratischen, eindimensional dargestellten Vektors aus zwei aneinander grenzenden unterschiedlichen, von Betrag und der Richtung, Einzelvektoren, ebenfalls quadratisch....
vorgegeben: f_2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)    Sekante des Vektors=dessen Richtung: y_2Sekante=x=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)
Schnittpunkte: x_s1=0, x_s2=0.67022346, daraus folgt: f_2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)*x^(1/2)/x^(1/2)*(0.67022346-x)^(1^/2)/(0.67022346-x)^(1/2)
f_3Vektor=(x-0.67022346)^2*(2-x)^(1/2)/(2-x)^(1/2)*(x-0.67022346)^(1/2)/(x-0.67022346)^(1/2)*tan(pi/8)+0.67022346, ...willkürlich festgelegt...
Sekante des Vektors f₃: Funktionswert ermitteln für den Punkt P(2,y)   y=(2-0.67022346)^2*tan(pi/8)+0.67022346 y=1.4029, richtig
Sekante: y=mx+n m=delta y/ delta x, daraus folgt: (1.4029-0.67022346)/(2-0.67022346)=m m=0.551045 y_3Sekante=0.551045*(x-0.67022346)+0.67022346
Sekante des noch zu ermittelnden resultierenden Vektors: y_1Sekante=1.4029/2*x=0.70145*x=m*x, richtig
Berechnung des resultierenden Vektors f_1Vektor:
Ansatz(?):

Integral einer komplexen Zahl als allgemeingültige Aussage für den Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. einer Ellipse...., Produktverfahren

Problem/Ansatz:

Fläche eines Dreiecks, rechtwinklig   A=a*b*1/2      

komplexe Zahl, die das Dreieck darstellt: z=a+ib=a*(1+1/k*i)   k=a/b

Integral z(a) da=a²/2*(1+1/k*i)=z₂=a₂+b₂*i     |z₂|=((a²/2)²+(a²/2*1/k)²)^1/2=(a₂²+b₂²)^1/2

|z₂|=1/2*(a⁴+a⁴*b²/a²)^1/2=1/2*a*(a²+b²)^1/2

Ansatz: A=a*b*1/2=|z₂|*s₂ , daraus folgt: s₂=b/(a²+b²)^1/2

Beispiel: a=5  b=8   s₂=8/(25+64)^1/2=0,84799

                                z=5+8i

                                z₂=12,5+20i=a₂+b₂i        |z₂|=23,585

                                s₂=a*b*1/2*1/|z₂|=0,84799

Damit habe ich eine allgemeingültige Aussage für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch die Integration einer komplexen Zahl getroffen.

Ellipse:   s₂=cos(tan^-1(b/a))*b/a*2    mit   s₂*|z₂|*pi=a*b*pi=A , auch dies ist allgemeingültig für jede Ellipse

Eine Formel für die Berechnung einer Fläche eines beliebigen Körpers durch die Integration einer komplexen Zahl, hier für eine Ellipse...., Einsetzungsverfahren

Problem/Ansatz:

Ellipse:   y^2/b^2+x^2/a^2=1    x=a*cos(ß)     y=b*sin(ß)
z=x+y*i=a+b*i=a*(1+k*i)  k=Konstante=b/a     Integral z(a) da=a^2/2*(1+k*i)=x^2/2+x/2*y*i , Einsetzen (x,y)  ergibt für die
Halbachsen   a=8, b=5  z=8+5*i

Integral z dz= a^2*cos^2(ß)/2+cos(ß)/2*a*b*sin(ß)*i      

4* Integral von 0 bis pi/4 z dz=-64+40i=A₁

4* Integral von pi/4 bis pi/2 z dz=64-40i=A₂

Viertelellipse, in zwei Bereiche geteilt, mal 4 ergibt die Fläche der vollständigen Ellipse

|A₁|+|A₂|=A₄=128+80i=2*|A₁|=2*|A₂|

4* Integral von 0 bis pi/2 z dz=4*|(a^2*cos^2(ß)/2+cos(ß)/2*sin(ß)*a*b*i)|von 0 bis pi/2=|a₄+b₄*i|

|a₄/a+b₄/a|=t   t*pi/2=pi/2*|a₄/a+b₄/a|

daraus folgt: pi/2*1/2*|a₄/a*b₄/a|=pi/2*1/2*128/8*80/8=A=a*b*pi=5*8*pi=125,66370

.....habe dies auch für einen Kreis und ein Dreieck durchgeführt....,mit einem korrekten Ergebnis!